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雷哥考研 >题库 > 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

$ \text{已知当 }x\rightarrow0\text{ 时,函数 }f(x)=3\sin x-\sin 3x \text{ 与 }cx^k \text{ 是等价无穷小量,则}$

正确答案:C

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$ \begin{align} \text{因为 }\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{3\sin x-\sin 3x}{cx^k} &=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{3(\cos x-\cos 3x)}{ckx^{k-1}} \\\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{3(-\sin x+3\sin 3x)}{ck(k-1)x^{k-2}} \\\\ &=\dfrac{3}{ck(k-1)}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left[ \dfrac{-\sin x}{x^{k-2}}+9\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x^{k-2}}\right] \end{align}$
当 $k-2=1$,即 $k=3$ 时,$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{3\sin x-\sin 3x}{cx^k} =\dfrac{8}{2c}=\dfrac{4}{c}=1$,故 $c=4$,因此,应选 C.

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