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雷哥考研 >题库 > 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

当 $ x\rightarrow 0^+ $ 时,若 $ \ln^{\alpha} (1+2x) , (1-\cos x)^{\frac{1}{\alpha}} $ 均是比 $ x $ 高阶的无穷小,则 $ \alpha $ 的取值范围是

正确答案:B

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\begin{align} &\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{\ln^{\alpha} (1+2x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{(2x)^{\alpha}}{x}=2^{\alpha}\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^{\alpha-1}=0,\notag \\\\ &\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{(1-\cos x)^{\frac{1}{\alpha}}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{(\dfrac{1}{2}x^2)^{\frac{1}{\alpha}}}{x}=(\dfrac{1}{2})^{\frac{1}{\alpha}}\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} x^{\frac{2}{\alpha}-1}=0,\notag \\\\ &\therefore \frac{2}{\alpha}-1>0,\therefore \alpha<2.\notag \end{align}

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