\begin{align} &\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{\ln^{\alpha} (1+2x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{(2x)^{\alpha}}{x}=2^{\alpha}\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^{\alpha-1}=0,\notag \\\\ &\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{(1-\cos x)^{\frac{1}{\alpha}}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{(\dfrac{1}{2}x^2)^{\frac{1}{\alpha}}}{x}=(\dfrac{1}{2})^{\frac{1}{\alpha}}\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} x^{\frac{2}{\alpha}-1}=0,\notag \\\\ &\therefore \frac{2}{\alpha}-1>0,\therefore \alpha<2.\notag \end{align}