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雷哥考研 >题库 > 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

$ \text{曲线 }y=\dfrac{x^2+x}{x^2-1}\text{ 渐近线的条数为}$

正确答案:C

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解:函数 $y=\dfrac{x^2+x}{x^2-1}$ 的间断点为 $x=\pm 1$,由 $\lim\limits_{x\rightarrow 1}y=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{x^2+x}{(x+1)(x-1)}=\infty$,故 $x=1$ 是垂直渐近线. 又 $\lim\limits_{x\rightarrow -1}y=\lim\limits_{x\rightarrow -1}\dfrac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{2}$,故 $x=-1$ 不是渐近线.
考察 $x\rightarrow \infty$ 时,函数的极限
由 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\frac{1}{x}+1}{1-\frac{1}{x^2}}=1$,故 $y=1$ 是水平渐近线. 因为 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{y}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+x}{x(x^2-1)}=0$,故无斜渐近线. 故应选 C,有 2 条渐近线.

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