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雷哥考研 >题库 > 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

$ \text{设 }\cos x-1=x\sin \alpha (x),\text{其中 }\lvert{\alpha (x)}\rvert\lt \dfrac{\pi}{2},\text{则当 }x\rightarrow 0\text{ 时},\alpha (x) \text{ 是} $

正确答案:C

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解:\begin{alignat}{3} \because &\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\cos x-1}{x^2}&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{-\sin x}{2x}&=-\dfrac{1}{2}\\ \therefore &\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x\sin \alpha(x)}{x^2}&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \alpha(x)}{x}&=-\dfrac{1}{2} \end{alignat} 由此结论可知 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\alpha(x)=0$,从而 $\sin \alpha(x)\sim \alpha(x),x\rightarrow0,$ 于是 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \alpha(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\alpha(x)}{x}=-\dfrac{1}{2}$
故 $\alpha(x)$ 是与 $x$ 同阶但不等价的无穷小.故应选 C.

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