一元函数微分学

给大家总结一下这一部分的三类题型的解题要点：

（一）分段函数的导数

分段函数在分段点处可导必须满足：

1.分段点处连续：要求分段点处左右极限相等且等于函数值

2.分段点处可导：要求分段点处的左右导数存在且相等

（二）高阶导数

求高阶导数的题目有三种方法：

1.利用泰勒展开和泰勒级数（一般用于求函数具体某一点的n阶导数）

2.利用莱布尼茨公式（一般用于计算函数非指定点的n阶导数）

3.根据前面几阶导数的规律归纳猜想，并证明之（一般用于求微分方程给出的抽象函数的n阶导数）

（三）求渐近线

f(x)的渐近线分为水平渐近线，铅直渐近线和斜渐近线：

1.水平渐近线：分别令x趋向于正无穷和负无穷，看看这两个极限是否存在，存在则有水平渐近线，然后判断是一条还是两条。

2.铅直渐近线：找一下f(x)不连续的点或者无定义的点，看看这些点处f（x)极限是否为无穷，如果是，则存在铅直渐近线。

3.斜渐近线：需要寻找是否存在常数a和b，使得f(x）-ax-b在x趋于无穷时极限为0。

罗尔定理引申

给大家引申一下罗尔定理，这个定理在判断原函数及其某阶导数的零点个数问题上非常有效：

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内n阶可导，则罗尔定理可以引申为下面的表述：

“若f(x)的m阶导数最少有(k+1)个零点，则f(x)的(m+1)阶导数最少有k个零点，其中m,k∈N+，且m≤n-1。”设为命题(✳)。

下面取m=n-2，k=2，则有：

“若f(x)的(n-2)阶导数最少有3个零点，则f(x)的(n-1)阶导数最少有2个零点。”

则它的逆否命题为：

“若f(x)的(n-1)阶导数最多有2个零点，则f(x)的(n-2)阶导数最多有3个零点。”设为命题(1)。

接下来命题(✳)中取m=n-3，k=3，并进行逆否处理得到命题(2)，即：

“若f(x)的(n-2)阶导数最多有3个零点，则f(x)的(n-3)阶导数最多有4个零点。”

以此类推分别得到命题(3),(4),···,(n-1)。（其中命题(i)就是先对命题(✳)中取m=n-i-1，k=i+1，再对所得命题进行逆否处理得到）

将这些命题按i从小到大的顺序排列后发现，后一个命题的条件刚好是前一个命题的结论，故我们可以将它们综合为一个命题，只保留命题(1)的条件和命题(n-1)的结论，即：

“若f(x)的(n-1)阶导数最多有1个零点，则f(x)最多有n个零点。”得证。